Question

（2007•普陀区一模）已知偶函数y=f（x），当x＞0时，f（x）=（x-1）²，若当x∈[-2，-

1

2

]时，不等式n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值是

1

．

Answer 1

分析：先设x∈[-2，-

1

2

]则

1

2

≤x≤2由x＞0时，f（x）=（x-1）²，可得f（-x）=（-x-1）²=（x+1）²，结合f（x）为偶函数可
求f（x），x∈[-2，-

1

2

]，n≤f（x）≤m恒成立，即n，m分布为函数的最小值与最大值，结合二次函数的性质可求

解答：解：设x∈[-2，-

1

2

]则

1

2

≤x≤2
当x＞0时，f（x）=（x-1）²，
∴f（-x）=（-x-1）²=（x+1）²
由f（x）为偶函数可得，f（-x）=f（x）
∴f（x）=（x+1）²，x∈[-2，-

1

2

]
结合二次函数的性质可得，此时f（x）_max=f（-2）=1，f（x）_min=f（0）
∵n≤f（x）≤m恒成立，
n=0，m=1，m-n=1
故答案为：1

点评：本题主要考查了利用偶函数定义f（-x）=f（x）求解函数的解析式，函数恒成立与函数最值的相互转化，二次函数性质的应用，属于知识的综合应用，解题的关键是熟练掌握并能灵活利用函数的性质