Question

如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且与共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，由A（a，0）、B（0，b），知，由与共线，知，由此能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，故，，△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0，由此能求出实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴，
∵与共线，
∴，又a²-b²=1（3分）
∴a²=2，b²=1，
∴椭圆E的标准方程为（5分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，
消去y，得，（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴，（7分）
△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0（*）                 （8分）
∵原点O总在以PQ为直径的圆内，
∴，即x₁x₂+y₁y₂＜0（9分）
又
由得，
依题意且满足（*）       （11分）
故实数m的取值范围是（12分）
点评：本题考查椭圆参数方程的求法，考实数的取值范围，考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．