Question

判断下列函数的奇偶性：
（Ⅰ）f（x）=x⁵+5x；

奇函数

（Ⅱ）f（x）=x⁴+2x²-1；

偶函数

（Ⅲ）y=

x2-1

+

1-x2

；

即是奇函数又是偶函数

（Ⅳ）f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]．

非奇非偶函数

．

Answer 1

分析：（I）先判断f（x）=x⁵+5x的定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，根据奇函数的定义可得结论；
（II）先判断f（x）=x⁴+2x²-1的定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，根据偶函数的定义可得结论；
（III）先判断y=

x2-1

+

1-x2

的定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，根据奇函数和偶函数的定义可得结论；
（IV）根据f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]的定义域不关于原点对称，可得结论；

解答：解：（Ⅰ）f（x）=x⁵+5x的定义域R关于原点对称
且f（x）=-x⁵-5x=-f（x）
故f（x）=x⁵+5x为奇函数
（Ⅱ）f（x）=x⁴+2x²-1的定义域R关于原点对称；
且f（-x）=x⁴+2x²-1=f（x）
故函数f（x）=x⁴+2x²-1为偶函数
（Ⅲ）y=

x2-1

+

1-x2

的定义域{-1，1}关于原点对称；
且f（-1）=f（1）=0
即f（-x）=f（x）且f（-x）=-f（x）
故函数y=

x2-1

+

1-x2

即是奇函数又是偶函数
（Ⅳ）f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]的定义域不关于原点对称；
故函数f（x）=2x²-1，x∈[-2，3]是非奇非偶函数
故答案为：奇函数，偶函数，即是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，熟练掌握函数奇偶性的判断方法是解答的关键．