Question

4．已知平面内两点A（2acos²$\frac{ωx+φ}{2}$，1），B（1，$\sqrt{3}$asin（ωx+φ）-a），（a≠0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$），设函数f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，若f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0）．
（1）求ω和φ的值；   
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若a＞0，试讨论k为何值时，方程f（x）-k=0（x∈[0，a]）有解．

Answer 1

分析 （1）首先由数量积公式求出函数的解析式，然后化简为最简形式，利用f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，得到其周期为2π，求出ω；利用有一个对称中心为（$\frac{π}{3}$，0）求出φ；
（2）利用正弦函数的单调递增区间，求f（x）的单调递增区间；
（3）讨论a，分别求出最大值和最小值，求出方程f（x）-k=0（x∈[0，a]）有解的k的范围．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2a{cos^2}\frac{ωx+φ}{2}+\sqrt{3}asin（ωx+φ）-a$…（1分）
=$acos（ωx+φ）+\sqrt{3}asin（ωx+φ）$…（2分）
=$2asin（ωx+φ+\frac{π}{6}）$…（3分）
∵f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，
∴$\frac{2π}{ω}=π$，ω=2…（4分）
又其图象的一个对称中心为$（\frac{π}{3}，0）$，故$2×\frac{π}{3}+φ+\frac{π}{6}=kπ（k∈Z）$，∴$φ=kπ-\frac{5π}{6}（k∈Z）$，由$0＜φ＜\frac{π}{2}$得$φ=\frac{π}{6}$…（5分）
（2）由（1）知$f（x）=2asin（2x+\frac{π}{3}）$
当a＞0时，由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得f（x）单调增区间为$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]$，k∈Z…（7分）
当a＜0时，由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得f（x）单调增区间为$[\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ]$，k∈Z…（9分）
（3）当$0＜a＜\frac{π}{12}$时，由x∈[0，a]得$f{（x）_{max}}=f（a）=2asin（2a+\frac{π}{3}）$，$f{（x）_{min}}=f（0）=\sqrt{3}a$…（10分）
当$\frac{π}{12}≤a≤\frac{π}{6}$时，由x∈[0，a]得$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{12}）=2a$，$f{（x）_{min}}=f（0）=\sqrt{3}a$…（11分）
当$\frac{π}{6}＜a＜\frac{7π}{12}$时，由x∈[0，a]得$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{12}）=2a$，$f{（x）_{min}}=f（a）=2asin（2a+\frac{π}{3}）$…（12分）
当$a≥\frac{7π}{12}$时，由x∈[0，a]得$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{12}）=2a$，$f{（x）_{min}}=f（\frac{7π}{12}）=-2a$…（13分）
综上所述：
要使方程f（x）-k=0（x∈[0，a]）有解，当$0＜a＜\frac{π}{12}$时，$\sqrt{3}a≤k≤2asin（2a+\frac{π}{3}）$；
当$\frac{π}{12}≤a≤\frac{π}{6}$时，$\sqrt{3}a≤k≤2a$；  
当$\frac{π}{6}＜a＜\frac{7π}{12}$时，$2asin（2a+\frac{π}{3}）≤k≤2a$；
当$a≥\frac{7π}{12}$时，-2a≤k≤2a…（14分）

点评 本题考查了平面向量的数量积、三角函数的化简、三角函数性质运用；属于中档题．