Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2+

4

3n-1

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的最大项；
（2）设b_n=

an+p

an-2

，试确定实常数p，使得{b_n}为等比数列；
（3）设m，n，p∈N^*，m＜n＜p，问：数列{a_n}中是否存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据数列a_n}的通项公式可知随着n的增大而减小，即为递减数列，故可知a₁为数列中的最大项，进而可得答案．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，根据等比数列的性质可知b²_n+1-b_nb_n+2=0，把b_n代入，进而可求得p．
（3）根据（1）中数列{a_n}的通项公式可分别求得a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列，则2a_n=a_m+a_p，把a_m，a_n，a_p代入整理可得关于m，n，p的关系式，再根据m＜n＜p判定等式是否成立．

解答：解（1）由题意a_n=2+

4

3n-1

，随着n的增大而减小，所以{a_n}中的最大项为a₁=4．
（2）b_n=

2+ 4 3n-1 +p

4 3n-1

=

(2+p)(3n-1)+4

4

=

(2+p)3n+(2-p)

4

，若{b_n}为等比数列，
则b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*）所以[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[{2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N^*），
化简得（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ）=0即-（4-p²）•3ⁿ•4=0，解得p=±2．
反之，当p=2时，b_n=3ⁿ，{b_n}是等比数列；当p=-2时，b_n=1，{b_n}也是等比数列．
所以，当且仅当p=±2时{b_n}为等比数列．
（3）因为am=2+

4

3m-1

，an=2+

4

3n-1

，ap=2+

4

3p-1

，
若存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列，则2a_n=a_m+a_p，
所以2(2+

4

3n-1

)=2+

4

3m-1

+2+

4

3p-1

，
化简得3ⁿ（2×3^p-n-3^p-m-1）=1+3^p-m-2×3^n-m（*），
因为m，n，p∈N^*，m＜n＜p，
所以p-m≥p-n+1，p-m≥n-m+1，
所以3^p-m≥3^p-n+1=3×3^p-n，3^p-m≥3^n-m+1=3×3^n-m，
（*）的左边≤3ⁿ（2×3^p-n-3×3^p-n-1）=3ⁿ（-3^p-n-1）＜0，
右边≥1+3×3^n-m-2×3^n-m=1+3^n-m＞0，所以（*）式不可能成立，
故数列{a_n}中不存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列．

点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列问题常涉及指数函数、不等式、极值等问题，是高考常考的地方，故应重点掌握．