Question

（1）已知点B（6，0）和C（-6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k₁，直线m的斜率为k₂，如果k1•k2=-

4

9

，求点A的轨迹．
（2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在△ABC中，∠A的外角平分线AD与边BC的延长线相交于点D，则

BD

DC

=

AB

AC

．

Answer 1

分析：（1）设出点A坐标为（x，y），用直线的斜率公式将k₁、k₂表示为关于x、y的式子，结合题意建立关系式，化简可得点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除长轴端点除外）．
（2）分别在△ACD、△ABD中根据正弦定理列式，再将所得的式子相除并利用比例的性质，可得

BD

DC

=

AB

AC

成立．

解答：解：（1）设A点坐标为（x，y），可得直线的斜率为k₁=

y

x-6

，
直线m的斜率为k₂=

y

x+6

，
结合题意可得

y

x-6

•

y

x+6

=-

4

9

，整理得

x2

36

+

y2

16

=1 (x≠±6)
所以点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除长轴端点除外）．
（2）设∠CAD=∠DAE=β，
在△ACD中，由正弦定理得

DC

sinβ

=

AC

sin∠D

…①，
在△ABD中，由正弦定理得

BD

sin∠BAD

=

AB

sin∠D

，即

BD

sin∠β

=

AB

sin∠D

…②①②两式相除，可得

BD

DC

=

AB

AC

，结论成立．

点评：本题着重考查了动点轨迹方程的求法、直线的斜率公式与椭圆的标准方程，考查了利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．