【题目】设函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).
(1)若函数f(x)在x=e处的切线与y轴相交于点(0,2﹣e),求a的值;
(2)当1<x<2时,求证: >
﹣
.
【答案】
(1)解:f′(x)=lnx+ +1﹣a,x∈(0,+∞)
由题意可知: =f′(e),
整理得:e+1﹣a(e﹣1)﹣(2﹣e)=e(1+ +1﹣a),解得a=2
(2)证明:(2)当a=2时,f(x)=(x+1)lnx﹣2(x﹣1),
f′(x)=lnx+ ﹣1,f″(x)=
>0,
∴f′(x)在(1,2)递增,∴f′(x)>f′(1)=0,
∴f(x)在(1,2)上是增函数,
∴f(x)>f(1)=0,即(x+1)lnx>2(x﹣1),
∴ <
,①
∵1<x<2,
∴0<2﹣a<1, >1,
∴ <
=
,
即﹣ <
,②
①+②得: ﹣
<
+
=
【解析】(1)求函数的导数,根据导数的几何意义即可求出函的切线斜率,即可求得a的值;(2)a=2时,f(x)=(x+1)lnx﹣2(x﹣1),得到f(x)在(1,2)上是增函数,可知(x+1)lnx>2(x﹣1),即 <
利用函数的单调性,求得﹣
<
,根据对数函数的运算即可证明不等式成立.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识,掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】如图,在多面体中,四边形
为直角梯形,
,
,
,
,四边形
为矩形.
(1)求证:平面平面
;
(2)线段上是否存在点
,使得二面角
的大小为
?若存在,确定点
的位置并加以证明.
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【题目】已知一动点,
到点
的距离减去它到
轴距离的差都是
.
()求动点
的轨迹方程.
()设动点
的轨迹为
,已知定点
、
,直线
、
与轨迹
的另一个交点分别为
、
.
(i)点能否为线段
的中点,若能,求出直线
的方程,若不能,说明理由.
(ii)求证:直线过定点.
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【题目】椭圆的离心率是
,过点
的动直线
与椭圆相交于
两点,当直线
与
轴平行时,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在轴上是否存在异于点
的定点
,使得直线
变化时,总有
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某公司有价值10万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值,假设附加值万元与技术改造投入
万元之间的关系满足:①
与
和
的乘积成正比;② 当
时,
;③
,其中
为常数,且
.
(1)设,求出
的表达式,并求出
的定义域;
(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入的
的值.
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【题目】统计表明,家庭的月理财投入(单位:千元)与月收入
(单位:千元)之间具有线性相关关系.某银行随机抽取5个家庭,获得第
(
)个家庭的月理财投入
与月收入
的数据资料,经计算得
.
(1)求关于
的回归方程
;
(2)判断与
之间是正相关还是负相关;
(3)若某家庭月理财投入为5千元,预测该家庭的月收入.
附:回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为:
,其中
为样本平均值.
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【题目】过双曲线 ﹣
=1(a>0,b>0)的右焦点F作渐近线的垂线,设垂足为P(P为第一象限的点),延长FP交抛物线y2=2px(p>0)于点Q,其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点,若
=
(
+
),则双曲线的离心率的平方为( )
A.
B.
C.
+1
D.
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【题目】近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织,现把该组织的成员按年龄分成
组第
组
,第
组
,第
组
,第
组
,第
组
,得到的频率分布直方图如图所示,已知第
组有
人.
(1)求该组织的人数;
(2)若在第组中用分层抽样的方法抽取
名志愿者参加某社区的宣传活动,应从第
组各抽取多少名志愿者?
(3)在(2)的条件下,该组织决定在这名志愿者中随机抽取
名志愿者介绍宣传经验,求第
组至少有
名志愿者被抽中的概率.
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