Question

（2012•北京模拟）有以下四个命题：
①如果，

a

•

b

=

b

•

c

且

b

≠

0

，，那么

a

=

c

；
②如果

a

•

b

=0，那么

a

=

0

，或

b

=

0

；
③△ABC中，如果

AB

•

BC

＞0，那么△ABC是锐角三角形；
④△ABC中，如果

AB

•

BC

=0，那么△ABC为直角三角形．
其中正确命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由数量积的定义逐个判断：①由题意只能说明向量

a

与

c

在向量

b

方向的投影相等，不能推得

a

=

c

故为假；②

a

•

b

=0，可得向量

a

⊥

b

，为假命题；③可得∠B为钝角，故△ABC是钝角三角形，为假命题；④由条件可得∠B为直角，故△ABC为直角三角形，故为真命题．

解答：解：①由数量积的定义，

a

•

b

=

b

•

c

且

b

≠

0

，只能说明向量

a

与

c

在向量

b

方向的投影相等，
至于向量

a

与

c

的方向不能确定，故不能推得

a

=

c

，故为假命题；
②

a

•

b

=0，可得向量

a

⊥

b

，不能推得

a

=

0

，或

b

=

0

，故为假命题；
③△ABC中，如果

AB

•

BC

＞0，说明∠B为钝角，故△ABC是钝角三角形，故为假命题；
④△ABC中，如果

AB

•

BC

=0，说明∠B为直角，故△ABC为直角三角形，故为真命题．
所以真命题个数为1，
故选B

点评：本题为命题真假的判断，熟练掌握向量的数量积是解决问题的关键，属基础题．