Question

（2013•嘉兴一模）己知抛物线y²=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=

π

2

，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则

|MN|

|AB|

的最大值为

2

2

．

Answer 1

分析：设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得

|MN|

|AB|

的最大值．

解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ　　
由抛物线定义，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（

a+b

2

） ²=

1

2

（a+b）²
得到|AB|≥

2

2

（a+b）．
所以

|MN|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

2 2 (a+b)

=

2

2

，即

|MN|

|AB|

的最大值为

2

2

．
故答案为：

2

2

点评：本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．