Question

19．在△ABC中，A，B，C的对边分别为$a，b，c，\overrightarrow m=（{a，0}），\overrightarrow b=（{1，cosB}）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=2acosB$．
（1）求B的大小；
（2）若△ABC的面积为$2\sqrt{3}$，且a+c=6，求b．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2acosB，得a=2acosB，求出B的值即可；（2）根据三角形的面积求出ac=8，由a+c=6，联立方程组，求出a，c的值，根据余弦定理求出b的值即可．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$=（a，0），$\overrightarrow{n}$=（1，cosB），
$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2acosB，得a=2acosB，
故cosB=$\frac{1}{2}$，得B=$\frac{π}{3}$；
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=2$\sqrt{3}$得ac=8，
联立$\left\{\begin{array}{l}{ac=8}\\{a+c=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=4}\end{array}\right.$，
由余弦定理得b²=16+4-8=12，
解得：b=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了向量的乘法，考查余弦定理的应用，是一道中档题．