已知椭圆
的长轴长为
，离心率为
，
分别为其左右焦点．一动圆过点
，且与直线
相切．
（1）(ⅰ)求椭圆
的方程；（ⅱ)求动圆圆心轨迹
的方程；
（2）在曲线上有四个不同的点
，满足
与
共线，
与
共线，且
，求四边形
面积的最小值．
（1）(ⅰ）
；（ⅱ）
；（2）. 四边形面积的最小值为
.
解析试题分析：（1）(ⅰ)由题意，
,再结合
解出
的值从而得到椭圆的标准方程；(ⅱ)由条件“动圆过点，且与直线相切”知动圆圆心到定点
的距离等于到定直线
的距离，且定点
不在定直线上，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线；
（2）由题设知直线
和直线
互相垂直相交于点，且分别与物抛线有两个交点，因此两直线的斜率均存在且不为零，所以解决问题的基本思路是以其中一条直线的斜率
为自变量，利用直线与抛物线相交的位置关系，将四边形的面积表示成直线斜率的函数，转化为函数的最值问题.
试题解析：（1）(ⅰ)由已知可得
则所求椭圆方程 3分
(ⅱ)由已知可得动圆圆心的轨迹为抛物线，且抛物线 的焦点为
，准线方程为 ，则动圆圆心轨迹方程为 6分
（2）由题设知直线
的斜率均存在且不为零
设直线的斜率为
,
则直线的方程为：
联立
消去
可得
8分
由抛物线这义可知：
10分
同理可得
11分
又
（当且仅当
时取到等号)
所以四边形面积的最小值为. 14分
考点：1、椭圆的标准方程；2、抛物线的定义与标准方程；3、直线与抛物线的位置关系综合.
天天向上课时同步训练系列答案
阳光课堂同步练习系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知双曲线C：
离心率是
，过点
，且右支上的弦
过右焦点
．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求弦的中点
的轨迹E的方程；
（3）是否存在以为直径的圆过原点O？,若存在，求出直线的斜率k 的值．若不存在，则说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
、
为椭圆
的左右焦点，点
为其上一点，且有
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过的直线
与椭圆
交于
、
两点，过与平行的直线
与椭圆交于、
两点，求四边形
的面积
的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
，过点
且离心率为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知
是椭圆的左右顶点，动点M满足
，连接AM交椭圆于点P，在x轴上是否存在异于A、B的定点Q,使得直线BP和直线MQ垂直.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
的离心率为
，过椭圆右焦点
作两条互相垂直的弦
与
．当直线斜率为0时，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求
的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设椭圆
的中心和抛物线
的顶点均为原点
，、的焦点均在
轴上，过的焦点F作直线
，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
（1）求，的标准方程；
（2）若与交于C、D两点，
为的左焦点，求
的最小值；
（3）点
是上的两点，且
，求证：
为定值；反之，当为此定值时，是否成立？请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设
:
的准线与
轴交于点
,焦点为
;椭圆
以
为焦点,离心率
.设
是
的一个交点.
(1)当
时,求椭圆的方程.
(2)在(1)的条件下,直线
过的右焦点,与交于
两点,且
等于
的周长,求的方程.
(3)求所有正实数
,使得的边长是连续正整数.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线
的焦点为
,点
为抛物线上的一点，其纵坐标为
，
.
（1）求抛物线的方程；
（2）设
为抛物线上不同于的两点，且
，过两点分别作抛物线的切线，记两切线的交点为
，求
的最小值.
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中，已知动点
到点
的距离为
，到
轴的距离为
，且
．
的轨迹
的方程；
斜率为1且过点
，其与轨迹
，求
的值．