Question

两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（-3，-1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
求：
（1）d的变化范围；
（2）当d取最大值时两条直线的方程．

Answer 1

分析：（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，可求得两直线间的距离；②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l₁：y-2=k（x-6），l₂：y+1=k（x+3），利用两平行线间的距离公式可求得两直线间的距离d的表示式，两端平方，整理成关于斜率k的二次方程，利用其有解的条件即可求得d的变化范围；
（2）作出图形，数形结合即可求得答案．

解答：解：（1）方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=-3，则它们之间的距离为9．…（2分）
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为
l₁：y-2=k（x-6），l₂：y+1=k（x+3），
即l₁：kx-y-6k+2=0，l₂：kx-y+3k-1=0，…（4分）
∴d=

|3k-1+6k-2|

k2+1

=

3|3k-1|

k2+1

．
即（81-d²）k²-54k+9-d²=0．
∵k∈R，且d≠9，d＞0，
∴△=（-54）²-4（81-d²）（9-d²）≥0，即0＜d≤3

10

且d≠9．…（9分）
综合①②可知，所求d的变化范围为（0，3

10

]．

方法二：如图所示，显然有0＜d≤|AB|．
而|AB|=

[6-(-3)]2+[2-(-1)]2

=3

10

．
故所求的d的变化范围为（0，3

10

]．
（2）由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．
而k_AB=

2-(-1)

6-(-3)

=

1

3

，
∴所求直线的斜率为-3．故所求的直线方程分别为
y-2=-3（x-6），y+1=-3（x+3），即3x+y-20=0和3x+y+10=0-…（13分）

点评：本题考查两条平行直线间的距离，考查分类讨论思想与数形结合思想的综合运用，属于难题．