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本题满分16分)两个数列{an},{bn},满足数学公式.★(参考公式数学公式
求证:{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列.

证明:∵,∴bn+1=
bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①,
bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1.②
②减去①可得 bn+1-bn=(n+1)an+1
两边同时除以n+1可得 bn+1-bn=an+1 ③,
bn-bn-1=an ④.
③减去④可得 an+1 -an=( bn+1 - bn )-( bn -bn-1
=bn+1 +bn+1 -bn-bn-bn+ bn-1-bn-1
=(bn+1-bn )+(bn+1-bn )+ (bn-bn-1)-(bn-bn-1
=(bn+1-bn )+(bn+1-bn )-(bn-bn-1).
由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d,
此时an+1 -an=d+-=,是个常数.
故:{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列.
分析:由条件可得 bn+1-bn=an+1 bn-bn-1=an,相减可得 an+1 -an(bn+1-bn )+(bn+1-bn )-(bn-bn-1),由于{bn}为等差数列的充要条件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常数d,此时an+1 -an=d+-=,是个常数,从而结论成立.
点评:本题主要考查用分析法和综合法证明数学命题,体现了等价转化的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

本题满分16分)两个数列{an},{bn},满足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
.★(参考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6

求证:{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列.

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科目:高中数学 来源:2011年江苏省如皋市高一上学期期中考试数学 题型:解答题

(本题满分16分)

为实数,且

    (1)求方程的解;

(2)若满足,试写出的等量关系(至少写出两个);

(3)在(2)的基础上,证明在这一关系中存在满足.

 

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

本题满分16分)两个数列{an},{bn},满足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
.★(参考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6

求证:{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年江苏省宿迁市泗阳中学高二(上)调研数学试卷(解析版) 题型:解答题

本题满分16分)两个数列{an},{bn},满足.★(参考公式
求证:{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列.

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