Question

13．正项等差数列{a_n}满足a₁=4，且a₂，a₄+2，2a₇-8成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₁=4可知a₂=4+d、a₄=4+3d、a₇=4+6d，利用a₂，a₄+2，2a₇-8成等比数列可知d=2或d=-6（舍），进而可知数列{a_n}是以4为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+2）（2n+4）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加、计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，a_n＞0，设公差为d，
a₂=a₁+d=4+d，a₄=a₁+3d=4+3d，a₇=a₁+6d=4+6d，
∵a₂，a₄+2，2a₇-8成等比数列，
∴（a₄+2）²=a₂（2a₇-8），即（6+3d）²=（4+d）•12d，
解得：d=2或d=-6（舍），
∴数列{a_n}是以4为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=4+2（n-1）=2n+2；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+2）（2n+4）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{n}{8（n+2）}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．