Question

12．若{an}为等比例函数，a₅=8a₂，a₃=16，则数列{$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n=$\frac{n}{2n+4}$log₃2．

Answer 1

分析 通过设等比数列{a_n}的公比为q，利用a₃=16及a₅=8a₂计算可知q=2，进而裂项可知$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$=log₃2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₃=16，
∴a₂=$\frac{{a}_{3}}{q}$=$\frac{16}{q}$，a₅=q²a₃=16q²，
又∵a₅=8a₂，
∴16q²=8×$\frac{16}{q}$，
整理得：q³=8，即q=2，
∴a_n=q^n-3×a₃=2^n-3×16=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{n+1}}$•$\frac{1}{lo{g}_{3}{2}^{n+2}}$=log₃2（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴数列{$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{3}{a}_{n+1}}$}的前n项和为log₃2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=log₃2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{n}{2n+4}$log₃2，
故答案为：$\frac{n}{2n+4}$log₃2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．