Question

已知函数f(x)=2sinxcosx-

3

cos2x+1（x∈R）．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）在区间x∈[

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（II）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出函数的最大值与最小值．

解答：解：（I）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∵ω=2，∴T=π；
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[

1

2

，1]，即2sin（2x-

π

3

）+1∈[2，3]，
则函数f（x）的最大值为3，最小值为2．

点评：此题考查了二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．