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已知函数f(x)=mx3+(ax-1)(x-2)(x∈R)的图象在x=1处的切线与直线x+y=0平行.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)当a≥0时,解关于x的不等式f(x)<0.
分析:(I)先对函数f(x)进行求导,又根据f'(1)=3m-1,可得到关于m的值;
(II)由(I)知f (x)=(ax-1)(x-2).下面对字母a的取值情况进行分类讨论:当a=0时,f (x)=-(x-2)>0,当a>0时,再分:若
1
a
<2;若
1
a
=2;若
1
a
>2,分别求出原不等式的解集即可.
解答:解:(I)∵f (x)=mx3+ax2-(2a+1)x+2,∴f′(x)=3mx2+2ax-(2a+1).
∴f'(1)=3m-1,
即函数f (x)的图象在x=1处的切线斜率为3m-1.
∴由题知3m-1=-1,解得m=0.…(5分)
(II)由(I)知f (x)=(ax-1)(x-2).
当a=0时,f (x)=-(x-2)>0,解得x<2.…(7分)
当a>0时,方程f (x)=0的两根为x2=
1
a
,x2=2.
1
a
<2即a>
1
2
时,原不等式的解为
1
a
<x<2;…(9分)
1
a
=2即a=
1
2
时,原不等式的解为∅;…(10分)
1
a
>2即a<
1
2
时,原不等式的解为2<x<
1
a
.…(11分)
∴综上所述,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<2};
当0<a<
1
2
时,原不等式的解集为{x|
1
a
<x<2};当a=
1
2
时,原不等式的解集为∅;
当a>
1
2
时,原不等式的解集为{x|2<x<
1
a
}.…(12分)
点评:本题主要考查一元二次不等式的解法的问题、利用导数研究曲线上某点切线方程,同时考查了运算求解的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=m•2x+t的图象经过点A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn为数列{an}的前n项和,n∈N*
(1)求Sn及an
(2)若数列{cn}满足cn=6nan-n,求数列{cn}的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=m(x+
1
x
)的图象与h(x)=(x+
1
x
)+2的图象关于点A(0,1)对称.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是减函数,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范围;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=
3
,b+c=3,当ω最大时,f(A)=1,求△ABC的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

以下两题任选一题:(若两题都作,按第一题评分)
(一):在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的圆心到直线θ=
π
3
(ρ∈R)的距离
3
2
3
2

(二):已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,当不等式f(x+2)≥0的解集为[-2,2]时,实数m的值为
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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