Question

在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，AC=4，AB=4

3

，VP-ABC=16

3

，侧棱PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等．
（Ⅰ）求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅱ）求点B到平面PAC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，p在平面ABC内的射影是Rt△ABC的外心，即斜边BC的中点O．取AC的中点D，连PD，DO，PO，根据三垂线定理，∠PDO 为所求，再解三角形求出二面角的大小即可．
（Ⅱ）利用等体积变换，V_P-ABC=V_B-PAC=

1

3

S△APC•h，其中点B到平面PAC的距离，求出三角形PAC的面积，代入求解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵侧棱PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，
∴点P在平面ABC内的射影是Rt△ABC的外心，即斜边BC的中点O
取AC的中点D，连PD，DO，PO，则VP-ABC=

1

3

(

1

2

•AC•AB)•OP=

1

3

(

1

2

•4•4

3

)•OP=16

3

，
∴OP=6．∵OP⊥平面ABC，
∴OD是PD在平面ABC内的射影，
∵AC⊥OD，∴AC⊥PD．∴∠PDO为二面角P-AC-B的平面角． 
在Rt△POD中，tan∠PDO=

OP

OD

=

3

，
∴∠PDO=

π

3

，
故二面角P-AC-B的大小为

π

3

． 
（Ⅱ）∵AC=4，PD=

OP2+OD2

=4

3

，
∴S△APC=

1

2

AC•PD=8

3

．
设点B到平面PAC的距离为h，则由V_P-ABC=

1

3

S△APC•h=16

3

解方程得h=6，∴点B到平面PAC的距离等于6．

点评：本题考查二面角、点到平面距离的计算，考查学生空间想象能力，计算能力、转化能力．空间问题平面化，是解决空间问题最核心的思想方法． 在点到平面距离的计算问题中，利用等体积变换也是常用方法，好处在于不用具体作出点到面的垂线段．