Question

4．已知a，b∈R₊．
（1）若log_a$\frac{1}{b}$=-2，求证：3a+12b≥9；
（2）若2a+b=1，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=$\frac{1}{{a}^{2}}$，可得3a+12b=$\frac{3a}{2}$+$\frac{3a}{2}$+$\frac{12}{{a}^{2}}$由基本不等式可得；
（2）由基本不等式可得ab=$\frac{1}{2}$•2a•b≤$\frac{1}{2}$（$\frac{2a+b}{2}$）²=$\frac{1}{8}$，验证等号成立即可．

解答 解：（1）∵log_a$\frac{1}{b}$=-2，∴$\frac{1}{b}$=a²，∴b=$\frac{1}{{a}^{2}}$，
∴3a+12b=3a+$\frac{12}{{a}^{2}}$=$\frac{3a}{2}$+$\frac{3a}{2}$+$\frac{12}{{a}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{3a}{2}•\frac{3a}{2}•\frac{12}{{a}^{2}}}$=9
当且仅当$\frac{3a}{2}$=$\frac{12}{{a}^{2}}$即a=2且b=$\frac{1}{4}$时取等号，
∴3a+12b≥9；
（2）∵正数ab满足2a+b=1，
∴ab=$\frac{1}{2}$•2a•b≤$\frac{1}{2}$（$\frac{2a+b}{2}$）²=$\frac{1}{8}$，
当且仅当2a=b即a=$\frac{1}{4}$且b=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴ab的最大值为$\frac{1}{8}$

点评 本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值，属中档题．