Question

（2012•宝鸡模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，

m

=(a，-c)，

n

=(cosA，cosB)，

p

=(a，b)，

q

=(cos(B+C)，cosC)，

m

•

n

=

p

•

q

，a=

13

，c=4．
（1）求cosA的值；
（2）求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）由

m

•

n

=

p

•

q

化简可得2a•cosA=c•cosB++b•cosC，再由正弦定理可得 2sinAcosA=sinA，求出cosA=

1

2

．
（2）由（1）可得cosA=

1

2

，A=

π

3

．△ABC中，由余弦定理求出b的值，再根据△ABC的面积S=

1

2

bc•sinA，运算求得结果．

解答：解：（1）

m

=(a，-c)，

n

=(cosA，cosB)，

p

=(a，b)，

q

=(cos(B+C)，cosC)，

m

•

n

=

p

•

q

．
∴a•cosA-c•cosB=a•cos（B+C）+b•cosC，即  2a•cosA=c•cosB++b•cosC．
再由正弦定理可得 2sinAcosA=sinCcosB cosCsinB=sin（B+C）=sinA，由于sinA≠0，∴cosA=

1

2

．
（2）由（1）可得cosA=

1

2

，A=

π

3

．
△ABC中，由余弦定理可得 13=b²+16-8bcosA=b²+16-4b，解得 b=5或 b=-1 （舍去）．
故△ABC的面积S=

1

2

bc•sinA=5

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，以及正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．