Question

12．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₂=-1，S₅=5，则数列{$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}$}的前2016项的和为（　　）

• A． $\frac{2016}{4033}$
• B． -$\frac{4032}{4031}$
• C． $\frac{2016}{4031}$
• D． -$\frac{2016}{4031}$

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由S₂=-1，S₅=5，可得2a₁+d=-1，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=5，解得a₁，d，可得$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₂=-1，S₅=5，
∴2a₁+d=-1，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=5，
解得a₁=-1，d=1，
∴a_n=-1+（n-1）=n-2．
∴$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$．
则数列{$\frac{1}{{{a_{2n-1}}{a_{2n+1}}}}$}的前2016项的和=$\frac{1}{2}[（-1-1）+（1-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2×2016-3}-\frac{1}{2×2016-1}）]$
=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{4031}）$
=-$\frac{2016}{4031}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．