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一个四棱锥的三视图如图所示.

(1)求这个四棱锥的全面积及体积;
(2)求证:PA⊥BD;
(3)在线段PD上是否存在一点Q,使二面角Q-AC-D的平面角为30°?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【答案】分析:(1)由已知可得该多面体的底面棱长及侧高,代入面积公式可得其表面积;再计算出棱锥的高后,代入体积公式可得答案.
(2)由三视图,可知四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形,所以该四棱锥是一个正四棱锥.作出它的直观图,根据线面垂直的判定与性质,可证出PA⊥BD;
(3)假设存在点Q,使二面角Q-AC-D的平面角为30°,由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角,可证出在Rt△PDO中,OQ⊥PD,且∠PDO=60°,结合三角函数的计算可得=
解答:解:(1)由已知的三视图可得该棱锥的底面棱长为2,侧面高为
则棱锥的底面积S=2×2=4,侧面积S=4××2=4
∴棱锥的表面积
又∵棱锥的高h==
∴棱锥的体积V=•S•h==
证明:(2)连接BD,AC交点为O,连接PO
则O为正四棱锥在底面ABCD上的投影
∴PO⊥底面ABCD
∴PO⊥BD
又∵棱锥的底面ABCD为正方形
∴AC⊥BD
又∵PO∩AC=0
∴BD⊥平面PAC,
又∵PA?平面PAC,
∴PA⊥BD;
解:(3)由三视图可知,BC=2,PA=2,假设存在这样的D点
因为AC⊥OQ,AC⊥OD,
所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角
△PDO中,PD=2,OD=,则∠PDO=60°,
△DQO中,∠PDO=60°,且∠QOD=30°.
所以DP⊥OQ,所以OD=,QD=
=
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,由三视图还原实物图,其中(1)的关键是从已知的三视图中分析出棱锥的形状,(3)的关键是找出二面角Q-AC-D的平面角,再根据已知求出满足条件的DQ的长.
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|DQ||DP|
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