Question

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60°；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q⊥AP，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间坐标系，求出面BDD₁B₁的一个法向量

AC

，以及

AP

，求出这两向量的夹角，最后求出此角的补角即可；
（2）假设在A₁C₁上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，对任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP．等价于

AP

•

D1Q

=0，建立等量关系，求出x即可．

解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（1，0，0），B（1，1，0），
P（0，1，m），C（0，1，0），
D（0，0，0），B₁（1，1，2），D₁（0，0，2）．
所以

BD

=(-1，-1，0)，  

B B   1

=(0，0，2)，

AP

=(-1，1，m)，  

AC

=(-1，1，0)．
又由

AC

•

BD

=0，  

AC

•

B B   1

=0知

AC

为平面B

B

1

D

1

D的一个法向量．
设AP与面BDD₁B₁所成的角为θ，
则sinθ=cos(

π

2

-θ)=

| AP • AC |

| AP |•| AC |

=

2

2 • 2+ m 2

=

3

2

，
解得m=

6

3

．故当m=

6

3

时，
直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60°；（5分）

（2）若在A₁C₁上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则Q(x，1-x，2)，  

D1Q

=(x，1-x，0)．
依题意，对任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP．等价于

D1Q

⊥

AP

?

D1Q

•

AP

=0?-x+（1-x）=0?x=

1

2

即Q为A₁C₁的中点时，满足题设的要求．（10分）

点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．