【题目】图1是某高架桥箱梁的横截面，它由上部路面和下部支撑箱两部分组成．如图2，路面宽度
，下部支撑箱CDEF为等腰梯形（
），且
．为了保证承重能力与稳定性，需下部支撑箱的面积为
，高度为2m且
，若路面AB．侧边CF和DE，底部EF的造价分别为4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a为正常数），
．
（1）试用θ表示箱梁的总造价y（千元）；
（2）试确定cosθ的值，使总造价最低?并求最低总造价．
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【题目】某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元.
（1）设1箱零件人工检验总费用为
元，求的分布列；
（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元.现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由.
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【题目】随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下.
（1）已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟。现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；
（2）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
（3）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
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【题目】如图，斜三棱柱
中，
是边长为2的正三角形，
为
的中点，
平面
，点
在
上，
，
为
与
的交点，且
与平面所成的角为
．
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值．
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【题目】在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律．右边的数字三角形可以看作当n依次取0，1，2，3，…时
展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列
．例：
，
，
，…．
（1）写出数列的通项公式（结果用组合数表示），无需证明；
（2）猜想
，与
的大小关系，并用数学归纳法证明．
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【题目】已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与
轴的正半轴重合，曲线
的极坐标方程是
，直线
的参数方程是
（
为参数）.
（1）若
，
是圆上一动点，求点到直线的距离
的最小值和最大值；
（2）直线
与关于原点对称，且直线截曲线的弦长等于
，求
的值.
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【题目】在如图所示的几何体中，平面
平面
，四边形为等腰梯形，四边形
为菱形．已知
，
，
．
（1）线段
上是否存在一点
，使得
平面
？证明你的结论．
（2）若线段
在平面上的投影长度为
，求直线与平面
所成角的正弦值．
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