Question

6．若直线2x+y-4=0，x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为（　　）

• A． $\frac{11}{4}$
• B． $\frac{5\sqrt{5}}{4}$
• C． $\frac{41}{20}$
• D． 5

Answer 1

分析 圆的内接四边形对角互补，而x轴与y轴垂直，所以直线2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直，再利用两直线A₁x+B₁y+C₁=0与A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充要条件A₁A₂+B₁B₂=0，列方程即可得k，即可得出结果

解答 解：圆的内接四边形对角互补，因为x轴与y轴垂直，所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直
直线A₁x+B₁y+C₁=0与直线A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充要条件是 A₁A₂+B₁B₂=0
由2×1+1×k=0，解得k=-2，
直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为（2，0），（0，4），x+ky-3=0与坐标轴的交点为
（0，-$\frac{3}{2}$），（3，0），两直线的交点纵坐标为-$\frac{2}{5}$，
∴四边形的面积为$\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×1×\frac{2}{5}$=$\frac{41}{20}$．
故选C

点评 本题考查了两直线垂直的充要条件，如果利用斜率还需要讨论斜率是否存在，属于中档题．