【题目】已知A、B分别为椭圆E:(a>1)的左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:直线CD过定点.
【答案】(1);(2)证明详见解析.
【解析】
(1)由已知可得:, ,,即可求得,结合已知即可求得:,问题得解.
(2)设,可得直线的方程为:,联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为,同理可得点的坐标为,当时,可表示出直线的方程,整理直线的方程可得:即可知直线过定点,当时,直线:,直线过点,命题得证.
(1)依据题意作出如下图象:
由椭圆方程可得:, ,
,
,
椭圆方程为:
(2)证明:设,
则直线的方程为:,即:
联立直线的方程与椭圆方程可得:,整理得:
,解得:或
将代入直线可得:
所以点的坐标为.
同理可得:点的坐标为
当时,
直线的方程为:,
整理可得:
整理得:
所以直线过定点.
当时,直线:,直线过点.
故直线CD过定点.
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【题目】新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品,收集一月内的数据如图1;为了解消费者对各平台销售方式的满意程度,该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查,得到的数据如图2.下列说法错误的是( )
A.样本容量为240
B.若样本中对平台三满意的人数为40,则
C.总体中对平台二满意的消费者人数约为300
D.样本中对平台一满意的人数为24人
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【题目】(选修4-4:坐标系与参数方程)
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;
(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA||PB|=1,求实数m的值.
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【题目】我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律,去掉所有为1的项,依次构成2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,6…,则此数列的前50项和为( )
A.2025B.3052C.3053D.3049
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【题目】如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,是底面的内接正三角形,为上一点,∠APC=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;
(2)设DO=,圆锥的侧面积为,求三棱锥PABC的体积.
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【题目】已知椭圆C1:(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴重直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程.
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【题目】如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.
(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥EB1C1F;
(2)设O为△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
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【题目】已知为抛物线的焦点,过的动直线交抛物线于,两点.当直线与轴垂直时,.
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点,抛物线上存在点使得直线,,的斜率成等差数列,求点的坐标.
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【题目】十五巧板、又称益智图,为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明,它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.十五巧板由十五块板组成一个大正方形(如图1),其中标号为2,3,4,5的小板均为等腰直角三角形,图2是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案,则从生肖猪图案中任取一点,该点恰好取自阴影部分中的概率为______.
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