Question

（2013•昌平区一模）已知函数：
①f（x）=-x²+2x，
②f（x）=cos（

π

2

-

πx

2

），
③f（x）=|x-1|

1

2

．则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（　　）
命题p：f（x）是奇函数；       
命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数；
命题r：f（

1

2

）＞

1

2

；            
命题s：f（x）的图象关于直线x=1对称．

A．命题p、q

B．命题q、s

C．命题r、s

D．命题p、r

Answer 1

分析：①中函数是二次函数，由二次函数的对称轴是x=1且开口向下，即能判出函数是非奇非偶函数，由函数在（1，+∞）上的单调性可知向左平移1个单位后的单调性；
②中的函数经诱导公式化简后变为sin

π

2

x，然后逐一对四个命题进行判断；
③中的函数直接利用奇偶性定义判断奇偶性，求出f（x+1）可判出f（x+1）为偶函数，从而得到在（0，1）上是增函数，利用图象平移判出函数f（x）的对称轴．

解答：解：①函数f（x）=-x²+2x图象是开口向下的抛物线，对称轴方程是x=1，所以该函数不是奇函数；函数f（x）在
（1，+∞）上为减函数，而函数f（x+1）的图象是把函数f（x）的图象左移1个单位得到的，所以函数f（x+1）在（0，1）上是减函数；
f(

1

2

)=-(

1

2

)2+2×

1

2

=

3

4

＞

1

2

；f（x）的图象关于直线x=1对称．
②f（x）=cos（

π

2

-

πx

2

）=sin

π

2

x，该函数是定义在R上的奇函数；f（x+1）=sin

π

2

(x+1)=cos

π

2

x，
当x∈（0，1）时，

π

2

x∈(0，

π

2

)，所以f（x+1）在（0，1）上是减函数；f(

1

2

)=cos(

π

2

-

π

4

)=cos

π

4

=

2

2

＞

1

2

；当x=1时，f(1)=sin

π

2

=1，所以f（x）的图象关于直线x=1对称．
③f（x）=|x-1|

1

2

，由于f(-x)=|-x-1|

1

2

=|x+1|

1

2

≠|x-1|

1

2

=f（x），所以f（x）不是奇函数；
f（x+1）=|x+1-1|

1

2

=|x|

1

2

，在（0，1）上是增函数；f(

1

2

)=|

1

2

-1|

1

2

=(

1

2

)

1

2

=

2

2

＞

1

2

；
因为f(x+1)=|x|

1

2

是偶函数，图象关于x=0对称，所以f（x）的图象关于直线x=1对称．
综上，对三个函数都成立的命题是r和s．
故选C．

点评：本题考查了命题的真假的判断与应用，考查了复合函数的奇偶性，单调性及对称性，考查了函数值的计算，解答此题的关键是熟练掌握函数图象的平移，此题是基础题．