Question

【题目】已知函数对于任意的都有，当时，则且

（1）判断的奇偶性；

（2）求在上的最大值；

（3）解关于的不等式.

Answer 1

【答案】(1) 函数f(x)为奇函数．

(2)6.

(3)见解析.

【解析】

分析：（1）取x=y=0可得f（0）=0；再取y=﹣x代入即可；

（2）先判断函数的单调性，再求函数的最值；

（3）由于f（x）为奇函数，整理原式得 f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2）；即f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2）；再由函数的单调性可得ax2﹣2x＞ax﹣2，从而求解．

详解：（1）取x=y=0，

则f（0+0）=f（0）+f（0）；

则f（0）=0；

取y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），

∴f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立

∴f（x）为奇函数；

（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；

∴f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；

∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），

又∵f（x）为奇函数

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；

∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）

而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；

∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；

∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6；

（3）∵f（x）为奇函数，

∴整理原式得 f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2）；

即f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2）；

而f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，

∴ax2﹣2x＞ax﹣2；

∴（ax﹣2）（x﹣1）＞0．

∴当a=0时，x∈（﹣∞，1）；

当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}；

当a＜0时，；

当0＜a＜2时，

当a＞2时，．