Question

7．已知函数f（x）=e^x+be^-x-2asinx（a，b∈R）．
（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调区间；
（2）当b=-1时，若f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时求导可知f′（x）=e^x-$\frac{b}{{e}^{x}}$，分b≤0与b＞0两种情况讨论即可；
（2）通过分离参数可知条件等价于a＜$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2sinx}$恒成立，进而记g（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2sinx}$，问题转化为求g（x）在（0，π）上的最小值问题，通过二次求导，结合洛必达法则计算可得结论．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=e^x+be^-x，f′（x）=e^x-$\frac{b}{{e}^{x}}$，
当b≤0时，f′（x）＞0恒成立，即此时函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
当b＞0时，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$lnb，
当x＜$\frac{1}{2}$lnb时f′（x）＜0恒成立，x＞$\frac{1}{2}$lnb时f′（x）＞0，
∴此时函数f（x）的单调递减区间为（-∞，$\frac{1}{2}$lnb）；函数f（x）的单调递增区间为（$\frac{1}{2}$lnb，+∞）；
（2）当b=-1时，函数f（x）=e^x-e^-x-2asinx，
又∵当x∈（0，π）时sinx＞0，
∴f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立等价于a＜$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2sinx}$恒成立，
记g（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2sinx}$，其中0＜x＜π，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（sinx-cosx）+{e}^{-x}（sinx+cosx）}{2si{n}^{2}x}$，
令h（x）=e^x（sinx-cosx）+e^-x（sinx+cosx），则h′（x）=2（e^x-e^-x）sinx＞0，
∴h（x）在（0，π）上单调递增，h（x）＞h（0）=0，
∴g′（x）＞0恒成立，从而g（x）在（0，π）上单调递增，g（x）＞g（0），
由洛必达法则可知，g（0）=$\frac{\underset{lim}{x→0}（{e}^{x}-{e}^{-x}）′}{\underset{lim}{x→0}（2sinx）′}$=$\frac{\underset{lim}{x→0}（{e}^{x}+{e}^{-x}）}{\underset{lim}{x→0}2cosx}$=1，
∴a≤1，即a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想及分离参数法等技巧，涉及罗比达法则等知识，注意解题方法的积累，属于难题．