Question

已知动点M到两个定点F₁（-3，0），F₂（3，0）的距离之和为10，A、B是动点M轨迹C上的任意两点．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若原点O满足条件

AO

=λ

OB

，点P是C上不与A、B重合的一点，如果PA、PB的斜率都存在，问k_PA•k_PB是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可知点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，其中a=5，c=3，b=

a2-c2

=4，由此能够推导出点M的轨迹方程．
（2）设A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀）．设P（5cosθ，4sinθ），kPA=

y0-4sinθ

x0-5cosθ

，kPB=

-y0-4sinθ

-x0-5cosθ

=

y0+4sinθ

x0+5cosθ

，kPA•kPB=

y02-16sin2θ

x02-25cos2θ

．A在椭圆上，

x02

25

+

y02

16

=1，y02=16(1-

x02

25

)，由此能够推导出k_PA•k_PB为定值-

16

25

．

解答：解：（1）设点M的坐标为（x，y），
∵|MF₁|+|MF₂|=10＞|F₁F₂|=6，
∴点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，
其中a=5，c=3，b=

a2-c2

=4，
故点M的轨迹方程为

x2

25

+

y2

16

=1，
（2）设A（x₀，y₀），当

AO

=λ

OB

时，
必有点A、B关于原点O对称，
∴B（-x₀，-y₀）．
设P（5cosθ，4sinθ），
则kPA=

y0-4sinθ

x0-5cosθ

，kPB=

-y0-4sinθ

-x0-5cosθ

=

y0+4sinθ

x0+5cosθ

，
∴kPA•kPB=

y02-16sin2θ

x02-25cos2θ

．
∵A在椭圆上，∴

x02

25

+

y02

16

=1，∴y02=16(1-

x02

25

)，
∴kPA•kPB=

16(1- x02 25 )

x02-25cos2θ

=-

16

25

，
∴k_PA•k_PB为定值-

16

25

．

点评：本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答，避免出现不必要的错误．