Question

已知圆C的方程为：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2

3

，求直线l的方程；
（Ⅱ）圆C上一动点M（x₀，y₀），

ON

=（0，y₀）若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分直线垂直于x轴和不垂直于x轴讨论，当垂直于x轴时直接解出交点坐标，A，B距离可求，当不垂直于x轴时，设出直线方程，结合弦心距求出|AB|，由|AB|=2

3

求直线l的方程；
（Ⅱ）设出Q点可M点的坐标，写出对应向量的坐标，由给出的向量等式得到Q和M的坐标的关系，由M点在圆上代入坐标整理后可得动点Q的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）①直线l垂直于x轴时，则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，

3

）和（1，-

3

），这两点的距离为2

3

满足题意．
②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），
即kx-y-k+2=0
设圆心到此直线的距离为d，则2

3

=2

4-d2

，得d=1
∴1=

|-k-2|

k2+1

，k=

3

4

，
故所求直线方程为3x-4y+5=0
综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1；
（Ⅱ）设Q点的坐标为（x，y），M点坐标是（x₀，y₀），

ON

=(0，y0)，
∵

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（x₀，2y₀），x0=x，y0=

y

2

∵x02+y02=4，∴x2+

y2

4

=4
即

x2

4

+

y2

16

=1．
∴Q点的轨迹方程是

x2

4

+

y2

16

=1．

点评：本题考查了直线的一般式方程，考查了直线和圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式，考查了利用代入法求曲线的方程，是中档题．