Question

17．如图，在平面直角坐标系内，已知A（1，0），B（-1，0）两点，且圆C的方程为x²+y²-6x-8y+21=0，点P为圆C上的动点．
（1）求过点A的圆的切线的方程；
（2）求|AP|²+|BP|²的最大值及其对应的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用点到直线的距离等于半径，即可求过点A的圆的切线的方程；
（2）设P（x，y），利用两点间的距离公式表示出|AP|，|BP|，代入所求式子中化简，整理后得出所求式子最大即为|OP|最大，而P为圆上的点，连接OC延长与圆的交点即为此时的P点，（|OP|）_max=|OC|+r，求出|OP|的最大值，即可确定出所求式子的最大值．

解答 解：（1）当k存在时，设过点A切线的方程为y=k（x-1），
∵圆心坐标为（3，4），半径r=2，∴$\frac{|3k-4-k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，
解得$k=\frac{3}{4}$，
∴所求的切线方程为3x-4y-3=0；…（3分）
当k不存在时方程x=1也满足；
综上所述，所求的直线方程为：3x-4y-3=0或x=1…（4分）
（2）设点P（x，y），则由两点之间的距离公式知|AP|²+|BP|²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2，
要|AP|²+|BP|²取得最大值只要使|OP|²最大即可，…（6分）
又P为圆上的点，所以${（|OP|）_{max}}=|OC|+r=\sqrt{{3^2}+{4^2}}+2=7$，
∴（|AP|²+|BP|²）_max=2×7²+2=100，…（9分）
此时直线$OC：y=\frac{4}{3}x$，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x}\\{{x^2}+{y^2}-6x-8y+21=0}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{5}}\\{y=\frac{12}{5}}\end{array}}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{21}{5}}\\{y=\frac{28}{5}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{21}{5}$，$\frac{28}{5}$）…（12分）

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，圆的标准方程，坐标与图形性质，熟练掌握公式是解本题的关键．