Question

【题目】已知函数 ，其中a为常数，
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若函数f（x）在（2，5）上有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）为奇函数，所以f（﹣x）+f（x）=0对定义域内的任意x恒成立，

即 对定义域内的任意x恒成立，

故 ，即（a2﹣1）x2=0对定义域内的任意x恒成立，

故a2﹣1=0，即a=±1…（3分）

当a=1时， 为奇函数，满足条件；

当a=﹣1时， 无意义，故不成立．

综上，a=1

（2）解：若f（x）在（2，5）内恒有意义，则当x∈（2，5）时，有 恒成立，

因为x＞2，所以x+3＞0，从而ax﹣3＞0在x∈（2，5）上恒成立，

令g（x）=ax﹣3，则

当a=0时，不合题意

当a≠0时， ，解得 ，

所以，实数a的取值范围是

【解析】（1）由奇函数的定义可求出a的值，经讨论舍去a=﹣1。（2）根据题意可得到ax﹣3＞0在x∈（2，5）上恒成立，构造函数利用其x∈（2，5）上恒成立，得到不等式组解得a的取值范围。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的奇偶性的相关知识，掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．