Question

如图：A、B两城相距100km，某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站D 给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天燃气站距两城市的距离均不得少于10km．已知建设费用y （万元）与A、B两地的供气距离（km）的平方和成正比，当天燃气站D距A城的距离为40km时，建设费用为1300万元．（供气距离指天燃气站距到城市的距离）
（1）把建设费用y（万元）表示成供气距离x （km）的函数，并求定义域；
（2）天燃气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小．最小费用是多少？

Answer 1

分析：（1）根据建设费用y （万元）与A、B两地的供气距离（km）的平方和成正比，假设函数y=k[x²+（100-x）²]，利用当天燃气站D距A城的距离为40km时，建设费用为1300万元，确定比例系数，根据天燃气站距两城市的距离均不得少于10km，确定函数的定义域；
（2）利用配方法，结合函数的定义域，可求建设供气费用最小．

解答：解：（1）设比例系数为k，则y=k[x²+（100-x）²]（10≤x≤90）．…（3分）
（不写定义域扣1分）
又x=40，y=1300，所以1300=k（40²+60²），即k=

1

4

，…（5分）
所以y=

1

4

[x2+(100-x)2]=

1

2

(x2-100x+5000)（10≤x≤90）．…（7分）
（2）由于y=

1

2

(x2-100x+5000)=

1

2

(x-50)2+1250，…（10分）
所以当x=50时，y有最小值为1250万元．…（11分）
所以当供气站建在距A城50km，电费用最小值1250万元．…（12分）

点评：本题考查的重点是建立函数的模型，考查配方法求函数的最值，应注意函数的定义域，属于基础题．