Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=

π

3

，cosA=

4

5

，b=

3

．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosA=

4

5

得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π-

π

3

-A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；
（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=

1

2

absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可．

解答：解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且B=

π

3

，cosA=

4

5

＞0，
∴A为锐角，
则sinA=

1-cos2A

=

3

5

∴C=

2π

3

-A
∴sinC=sin（

2π

3

-A）=

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3+4 3

10

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=

3

5

，sinC=

3+4 3

10

，
又∵B=

π

3

，b=

3

，
∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴a=

bsinA

sinB

=

6

5

，
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×

6

5

×

3

×

3+4 3

10

=

36+9 3

50

．

点评：考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．