Question

【题目】已知坐标平面上的凸四边形 ABCD 满足 =（1， ）， =（﹣ ，1），则凸四边形ABCD的面积为； 的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】2；[﹣2，0）
【解析】解：∵凸四边形 ABCD 满足 =（1， ）， =（﹣ ，1），

∴ =0，且AC|=2，BD=2，

∴AC=BD，AC⊥BD，

∴凸四边形ABCD的面积为 = =2；

设AC与BD交点为O，OC=x，OD=y，则AO=2﹣x，BO=2﹣y； =（ ）（ ）=

=x（x﹣2）+y（y﹣2）=（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣2，（0＜x，y＜2）；

∴当x=y=1时， =﹣2为最小值，

当x→0或1，y→0或1时， 接近最大值0，

∴ 的取值范围是[﹣2，0）．

故答案为：2；[﹣2，0）．

根据向量的模的计算和向量的坐标运算得到四边形ABCD为对角线垂直且相等的四边形，问题得以解决．