Question

18．若正数x，y满足x²+4y²+x+2y=1，则xy的最大值为$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由题意和基本不等式可得1=x²+（2y）²+x+2y≥2•x•2y+2$\sqrt{x•2y}$，解关于$\sqrt{x•2y}$的一元二次不等式可得．

解答 解：∵正数x，y满足x²+4y²+x+2y=1，
∴1=x²+4y²+x+2y=x²+（2y）²+x+2y≥2•x•2y+2$\sqrt{x•2y}$，
当且仅当x=2y时取等号．
变形可得2（$\sqrt{x•2y}$）²+2$\sqrt{x•2y}$-1≤0，
解得$\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$≤$\sqrt{x•2y}$≤$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
结合$\sqrt{x•2y}$＞0可得0＜$\sqrt{x•2y}$≤$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
平方可得2xy≤（$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）²=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴xy≤$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，即xy的最大值为$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，
故答案为：$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．