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    已知O是线段AB外一点，若
    OA
    =
    a
    ，
    OB
    =
    b
    ．
    （1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量
    a
    、
    b
    表示
    OG1
    +
    OG2
    +
    OG3
    ；
    （2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
    分析：（1）由题意画出图形由于点A1、A2是线段AB的三等分点，又由于△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，利用重心的性质及向量的三角形法则求得用向量
    a
    、
    b
    表示
    OG1
    +
    OG2
    +
    OG3
    ；
    （2）由题意若在线段AB上有若干个等分点，有（1）的证明过程及结论可以逐渐得到结论，并且利用向量的加法及减法得到证明过程．
    解答：精英家教网解：（1）如图：点A1、A2是线段AB的三等分点，
    OG1
    =
    2
    3
    [
    1
    2
    (
    OA
    +
    OA1
    )]=
    1
    3
    (
    OA
    +
    OA1
    )    ，同理可得：
    OG2
    =
    1
    3
    (
    OA 1
    +
    OA2
    )    ，
    OG3
    =
    1
    3
    (
    OA2
    +
    OB
    )    ，
    则
    OG1
    +
    OG2
    +
    OG3
    =
    1
    3
    (
    a
    +
    b
    )+
    2
    3
    (
    OA1
    +
    OA2
    )
    =
    1
    3
    (
    a
    +
    b
    )+
    2
    3
    [
    a
    +
    1
    3
    (
    b
    -
    a
    )+
    a
    +
    2
    3
    (
    b
    -
    a
    )]
    =(
    a
    +
    b
    )
    （2）层次1：设A1是AB的二等分点，则OA1=
    a
    +
    b
    2
    ；
    OG1
    +
    OG2
    =
    2
    3
    (
    a
    +
    b
    )    ；
    设A1、A2、A3是AB的四等分点，则
    OA1
    +
    OA2
    +
    OA3
    =
    3(
    a
    +
    b
    )
    2
    ；
    或设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，则
    OAk
    +
    OAn-k
    =
    OA
    +
    OB
    ，
    层次2：设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，
    OA1
    +
    OA2
    +
    OA3
    ++
    OAn-2
    +
    OAn-1
    =
    n(
    a
    +
    b
    )
    2
    ，
    层次3：设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，
    则
    OG1
    +
    OG2
    +
    OG3
    ++
    OGn-2
    +
    OGn-1
    =
    n(
    a
    +
    b
    )
    3
    ；
    证：
    OG1
    +
    OG2
    ++
    OGn-1
    =
    1
    3
    (
    a
    +
    b
    )+
    2
    3
    (
    OA1
    +
    OA2
    ++
    OAn-1
    )
    =
    1
    3
    (
    a
    +
    b
    )+
    2
    3
    [
    a
    +
    1
    n
    (
    b
    -
    a
    )+
    a
    +
    2
    n
    (
    b
    -
    a
    )++
    a
    +
    n-1
    n
    (
    b
    -
    a
    )]
    =
    1
    3
    (
    a
    +
    b
    )+
    2
    3
    [(n-1)
    a
    +(
    1
    n
    +
    2
    n
    ++
    n-1
    n
    )
    b
    -(
    1
    n
    +
    2
    n
    ++
    n-1
    n
    )
    a
    ]
    =
    1
    3
    (
    a
    +
    b
    )+
    2
    3
    •
    (n-1)
    2
    (
    a
    +
    b
    )=
    n
    3
    (
    a
    +
    b
    )
    点评：此题考查了三角形重心的定义，向量的加法和减法，还考查了学生对于新问题逐渐分析并合理联想的能力．
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    O、A为焦点，OB长为长轴长的椭圆
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    ．

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