Question

15．已知函政f（x）=1g（9-3^x）的定义域为A，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x（-1≤x≤0）的值域为B．
（1）求集合A∩B；
（2）设集合C={x|（x-a）（x-a-2）≤0，a∈R}．若B∩C=B，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的定义域可得A={x|x＜2}，值域可得B={x|1≤x≤2}，由几何的运算可得A∩B；
（2）可得C={x|a≤x≤a+2}，由B∩C=B可得B?C，数形结合可得$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a+2≥2}\end{array}\right.$，解不等式组可得．

解答 解：（1）由9-3^x＞0可得3^x＜3²，解得x＜2，即A={x|x＜2}，
∵g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x单调递减，且g（-1）=2，g（0）=1，
∴函数g（x）的值域为B={x|1≤x≤2}，
∴A∩B={x|1≤x＜2}；
（2）∵集合C={x|（x-a）（x-a-2）≤0}={x|a≤x≤a+2}，
∵B∩C=B，∴B⊆C，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a+2≥2}\end{array}\right.$，解得0≤a≤1
∴a的取值范围为[0，1]．

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及集合的运算，属基础题．