Question

已知一非零向量列{a_n}满足：a₁=（1，1），a_n=（x_n，y_n）=
（1）证明：{|a_n|}是等比数列；
（2）设θ_n=＜a _n-1，a_n＞（n≥2），b_n=2nθ_n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）设c_n=|a_n|log₂|a_n|，问数列{c_n}中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用向量模的计算公式得出的表达式，发现得出=利用等比数列定义判定是等比数列．
（2）根据向量夹角公式可以求出θ_n=，b_n=2nθ_n-1=．分组后结合等差数列求和公式计算．
（3）由上可得出c_n=•，可利用作商法研究数列{c_n}的单调性，确定最小项存在与否．
解答：解：（l）证明：=
==（n≥2）又= 
∴数列是以为首项，公比为的等比数列．…（4分）
（2）∵===²
∴cosθ_n==，∴θ_n=，∴b_n=2nθ_n-1=．
Sn=b₁+b₂+…+b_n==…（8分）
（3）假设存在最小项，不防设为cn，∵==，
∴c_n=|a_n|log₂|a_n|=•，由c_n≤c_n+1 得≤
即（2-n）≤1-n，∴（-1）n≥2-1．
∴n≥=3+，∵n为正整数，∴n≥5．
由c_n≤c_n-1 得n≤4+，n≤5．，∴n=5
 故存在最小项，最小项为c₅=…（12分）
点评：本题考查数列的函数性质，等比数列的判定，数列求和，向量数量积、夹角的计算，是数列与不等式的综合．所涉及的知识、方法均为高中学段基本要求．