Question

在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（

3

-1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10

3

海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．

Answer 1

分析：设缉私船追上走私船需t小时，进而可表示出CD和BD，进而在△ABC中利用余弦定理求得BC，进而在△BCD中，根据正弦定理可求得sin∠BCD的值，进而求得∠BDC=∠BCD=30°进而求得BD，进而利用BD=10t求得t．

解答：解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，
则有CD=10

3

t，BD=10t．在△ABC中，
∵AB=

3

-1，AC=2，
∠BAC=45°+75°=120°．
根据余弦定理可求得BC=

6

．
∠CBD=90°+30°=120°．
在△BCD中，根据正弦定理可得
sin∠BCD=

BD•sin∠CBD

CD

=

10t•sin120°

10 3 t

=

1

2

，
∵∠CBD=120°，∴∠BCD=30°，∠BDC=30°，
∴BD=BC=

6

，则有
10t=

6

，t=

6

10

=0.245（小时）=14.7（分钟）．
所以缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用三角函数的基础知识解决实际的问题．