Question

18．若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆x²+y²+2x-2y-1=0的面积，则$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得到a+b=2，将其化为$\frac{a+b}{2}$=1，代入$\frac{1}{a}$+$\frac{3}{b}$结合基本不等式的性质计算即可．

解答 解：∵直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）平分圆x²+y²+2x-2y-1=0的面积，
∴圆x²+y²+2x-2y-1=0的圆心（-1，1）在直线上，可得-a-b+2=0，
即a+b=2，
因此（$\frac{1}{a}+\frac{3}{b}$）（$\frac{a}{2}$+$\frac{b}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{b}{2a}$+$\frac{3a}{2b}$+$\frac{3}{2}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{3a}{2b}}$=2+$\sqrt{3}$，
当且仅当：$\frac{b}{2a}$=$\frac{3a}{2b}$时“=”成立，
故答案为：2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的方程，考查基本不等式的性质，是一道基础题．