Question

已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）在R上为增函数；
（3）在条件（2）下，若f（1）=2，解不等式：f（x²+1）-f（2x+5）＜4．

Answer 1

分析：（1）利用条件x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y），分别赋值，令x=y=0，及y=-x，利用奇函数的定义可得结论；
（2）根据单调性的证题步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，即可证明；
（3）先计算f（2）=2f（1）=4，再将抽象函数不等式转化为具体不等式，解不等式，即可得出结论．

解答：（1）解：∵x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=y=0，得f（0）=0；又令y=-x得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
所以f（-x）=-f（x），因此f（x）是R上的奇函数；…（4分）
（2）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），因此f（x）在R上为增函数；…（9分）
（3）解：∵f（1）=2，∴f（2）=2f（1）=4…（11分）
由f（x²+1）-f（2x+5）＜4，可得f（x²+1）＜f（2x+5）+f（2）
∴f（x²+1）＜f（2x+7）
由（2）可得x²+1＜2x+7，即x²-2x-6＜0
解得1-

7

＜x＜1+

7

…（14分）

点评：本题重点考查抽象函数的性质证明与运用，考查赋值法的运用，考查学生分析解决问题的能力．