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如图,△ABC 为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,N 是EA 的中点,求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDN⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.

证明:(1)如图,取EC中点F,连接DF.
∵EC⊥平面ABC,BD∥CE,得DB⊥平面ABC.
∴DB⊥AB,EC⊥BC.
∵BD∥CE,BD=CE=FC,则四边形FCBD是矩形,
∴DF⊥EC.
又BA=BC=DF,
∴Rt△DEF≌Rt△ABD,所以DE=DA.
(2)取AC中点M,连接MN、MB,∵N是EA的中点,
∴MN=EC.由BD=EC,且BD⊥平面ABC,可得四边形
MNBD是矩形,于是DN∥BM.
∵DE=DA,N是EA的中点,∴DN⊥EA.又EA∩MN=M,
∴DN⊥平面ECA,而DN?平面BDN,则平面ECA⊥平面BDN.
(3)∵DN⊥平面ECA,DN?平面DEA,
∴平面DEA⊥平面ECA.
分析:对于(1)可以通过作辅助线,取CE中点F,CA中点M,连接DF,由CE=CA=2BD,容易证明Rt△DEF≌Rt△ABD;
对于(2),由EC⊥平面ABC,容易得到BM⊥CE,又M为正三角形ABC边CA的中点,故BM⊥AC,容易得到BM⊥平面ECA,从而得证;
对于(3),由于N是EA的中点,容易得到DN∥BM,而BM⊥平面ECA,从而得证.
点评:本题考查空间中线段相等问题及平面与平面垂直的问题,线段相等要转化为平面内三角形全等问题解决;面面垂直转化为线面垂直解决,同时注意使用线面垂直的判定定理及性质定理.
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2
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