Question

某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．
（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；
（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有事件是从6个球中取三个，而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，写出结果数，得到概率．
（2）由题意知变量的取值，结合变量对应的事件，写出分布列，做出期望．这种问题要得分，是一个送分题．

解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C₆³种结果，
而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C₂¹C₄²+C₂²C₄¹
设“一次抽奖中奖”为事件A，
∴P(A)=

C 1 2 C 2 4 + C 2 2 C 1 4

C 3 6

=

16

20

=

4

5

即一次抽奖中奖的概率为

4

5

；
（2）X可取0，10，20，
P（X=0）=（0.2）²=0.04，
P（X=10）=C₂¹×0.8×0.2=0.32，
P（X=20）=（0.8）²=0.64，
∴X的概率分布列为
∴E（X）=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．

点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．