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解析:由题意知

当-2≤x≤1时,f(x)=x-2,

当1<x≤2时,f(x)=x3-2,

又∵f(x)=x-2,f(x)=x3-2在定义域上都为增函数,

f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.

答案:C

定义在R上的函数f(x)满足对任意xy∈R恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为0.

(1)求f(1)和f(-1)的值;

(2)试判断f(x)的奇偶性,并加以证明;

(3)若x≥0时f(x)为增函数,求满足不等式f(x+1)-f(2-x)≤0的x的取值集合.

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科目:高中数学 来源:2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(天津卷解析版) 题型:解答题

已知函数的最小值为0,其中

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若对任意的成立,求实数的最小值;

(Ⅲ)证明).

【解析】(1)解: 的定义域为

,得

当x变化时,的变化情况如下表:

x

-

0

+

极小值

因此,处取得最小值,故由题意,所以

(2)解:当时,取,有,故时不合题意.当时,令,即

,得

①当时,上恒成立。因此上单调递减.从而对于任意的,总有,即上恒成立,故符合题意.

②当时,,对于,故上单调递增.因此当取时,,即不成立.

不合题意.

综上,k的最小值为.

(3)证明:当n=1时,不等式左边==右边,所以不等式成立.

时,

                      

                      

在(2)中取,得

从而

所以有

     

     

     

     

      

综上,

 

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科目:高中数学 来源:2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(湖南卷解析版) 题型:解答题

已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

单调递减;当单调递增,故当时,取最小值

于是对一切恒成立,当且仅当.        ①

时,单调递增;当时,单调递减.

故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.

综上所述,的取值集合为.

(Ⅱ)由题意知,

,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当

从而

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.

 

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省高考模拟预测数学文试卷(解析版) 题型:解答题

已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

(I)求椭圆的方程;

(II)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足O为坐标原点),当 时,求实数的取值范围.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的运用。

第一问中,利用

第二问中,利用直线与椭圆联系,可知得到一元二次方程中,可得k的范围,然后利用向量的不等式,表示得到t的范围。

解:(1)由题意知

 

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省菏泽市高三5月高考冲刺题理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知m>1,直线,椭圆C:分别为椭圆C的左、右焦点.

(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;

(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,△A、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.[

【解析】第一问中因为直线经过点,0),所以,得.又因为m>1,所以,故直线的方程为

第二问中设,由,消去x,得

则由,知<8,且有

由题意知O为的中点.由可知从而,设M是GH的中点,则M().

由题意可知,2|MO|<|GH|,得到范围

 

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