Question

17、在（a-2b）ⁿ的展开式中，
（1）若n=10，求展开式的倒数第四项（要求将系数计算到具体数值）
（2）若展开式中二项式系数不超过6的项恰好有5项，求n的值；
（3）若展开式中系数不超过6的项恰好有五项，求n的值．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令r=7即倒数第4项．
（2）展开式中二项式系数不超过6的项恰好有5项，从两个方面考虑：一方面说明n≥4，5项存在．另一方面说明展开式的第二项的二项式系数也不超过6，即n≤6，再分别求出当n=4时，当n=5，当n=6，各项的二项式系数，从而求得n的值；
（3）由于展开式第r+1项的系数是C_n^r（-2）^r展开式种的第一项系数等于1，不超过6；要展开式有5项，n≥4，展开式种所有偶数项的系数均为负，故偶数项不能超过4项，即n≤8，下面分别求出当n=4，n=5，n=6时，n=7时，当n=8时，讨论展开式中系数不超过6的项的情况，从而求得所求n的值．

解答：解：（1）（a-2b）ⁿ展开式的通项公式（即第r+1项）是：T_r+1=C_n^ra^n-r（-2b）^r
n=10时，展开式共有11项，其倒数第四项即第八项．T₇₊₁=C₁₀⁷a^10-7（-2b）⁷=-15360a³b⁷
（2）展开式中二项式系数不超过6的项恰好有5项，
一方面说明n≥4，5项存在．
另一方面说明展开式的第二项的二项式系数也不超过6，即n≤6
当n=4时，各项的二项式系数分别是1，4，6，4，1，恰好有5项二项式系数不超过6．
当n=5，各项的二项式系数分别是1，5，10，10，5，1，没有5项二项式系数不超过6．
当n=6，各项的二项式系数分别是1，6，15，20，15，6，1，没有5项的二项式系数不超过6．
所以，所求n的值等于4．
（3）展开式第r+1项的系数是C_n^r（-2）^r
展开式种的第一项系数等于1，不超过6；
要展开式有5项，n≥4
展开式种所有偶数项的系数均为负，故偶数项不能超过4项，即n≤8
当n=4时，各项的习俗分别是1，-8，24，-32，16，没有5项系数不超过6．
类似地，n=5，n=6时，展开式种都没有5项系数不超过6．
当n=7时，第1，2，4，6，8项的习俗不超过6．
当n=8时，第1，2，4，6，8项的习俗不超过6．
所以，所求n的值等于7或者8．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．主要考查了二项展开式中的系数最大的项的求法：利用最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数来求．