Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若函数的图象在点处的切线与轴垂直，求的极值；

（Ⅱ）讨论函数的零点个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极小值为0，无极大值（Ⅱ）当或时，函数在上有一个零点；当或时，函数在上有两个零点

【解析】

（Ⅰ）根据条件可知，解得，，然后求函数的导数，

根据导数判断函数的单调性，并求函数的极值；（Ⅱ）分 四种情况讨论函数的单调性，和零点存在性定理讨论函数的零点个数.

（Ⅰ）由得 ，

所以，所以，

所以.

当时，，函数单调递减；

当时， ，函数单调递增，

所以时，函数的极小值为，无极大值

（Ⅱ） .

（i）当时，，函数在上单调递减.

因为，所以函数在上有一个零点

（ii）当时，

①若 ，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值。

因为，所以

又因为 ，

由，可得 ，

所以函数在上也有一个零点，所以函数在上共有两个零点

②若 ，由（I）可知，函在上只有一个零

③若，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在 处取得极小值.

因为，所以

因为 ，

记，所以 ，

由，可得当时，，所以单调递增，

所以 ，

所以函数在上存在一个零点，即此时函数在上共有两个零点

综上所述，当或时，函数在上有一个零点；当或时，函数在上有两个零点