Question

【题目】如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，，，，连接CE并延长交AD于F.

（1）求证：AD⊥平面CFG；

（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）根据已知可得，，所以可得证AD⊥平面CFG；

（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标，分别求出平面BCP与平面DCP的法向量，从而可得出两平面的夹角的余弦值.

（1）因为，所以是等边三角形，,

在中，即，

平面平面平面；

（2）建立空间坐标系A-xyz如图所示，

则,

向量

设平面PBC的法向量平面PDC的法向量则

得，

得，

设平面BCP与平面DCP的夹角为，由图示可知，为锐角，所以

两平面夹角的余弦，

所以平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为.

故得解.