Question

【题目】已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（12分）
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x，

∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），

①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在R上单调递增，

②当a＞0时，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，

当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

③当a＜0时，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣ ），

当x＜ln（﹣ ）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x＞ln（﹣ ）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，

当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，

当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））上单调递减，在（ln（﹣ ），+∞）上单调递增，

（2）

①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，

②当a＞0时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，

∴lna≤0，

∴0＜a≤1，

③当a＞0时，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣ ））= ﹣a2ln（﹣ ）≥0，

∴ln（﹣ ）≤ ，

∴﹣ ≤a＜0，

综上所述a的取值范围为[﹣ ，1]

【解析】（1.）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
（2.）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．